Лотерея
Игра, построенная на чистом случае – лотерея. По сути дела, это та же рулетка, только играют в ней на номера. И номеров не 36, а много больше.
Перед тиражом лотереи число желающих приобрести билеты сильно возрастает. Потолкайтесь среди покупателей и увидите, что одни предпочитают слепое счастье – тянут билет наудачу, другие выбирают «хороший» номер. Желающих взять билет номер 777777 очень мало. Вы можете сколько угодно убеждать жаждущих получить крупный выигрыш за 100 копеек, что для этого одинаково пригодны (непригодны) любые билеты (вероятность выпадения выигрыша на все номера совершенно одинакова), тем не менее, вам возразят, что никогда не встречали в таблицах выигрышей номера, составленного из одних и тех же цифр. Рассуждение это ошибочно, и ошибочность его после наших разговоров о рулетке достаточно очевидна.
Номер, скажем, 594766 столь же уникален, сколь и номер 777777, и, безусловно, встречается в таблицах выигрышей также редко. Но желающий поиграть в лотерею сравнивает вероятность вполне определенного номера, состоящего из семерок, со всеми номерами вроде 594766. Ясно, что номеров, похожих на этот, то есть обладающих единственной особенностью состоять из беспорядочного ряда цифр, во много раз больше, чем номеров с одинаковыми цифрами. Само собой разумеется, что вероятность выигрыша каким-либо номером вроде 594766, то есть состоящим из произвольного ряда цифр, несоизмеримо велика в сравнении с вероятностью выигрыша по одному из девяти (только девяти: из шести единиц, шести двоек,..., шести девяток) билетов, состоящих из одинаковых цифр. Непохожесть не должна интересовать человека, выбирающего билет. Его проблема – вероятность выигрыша выбранным билетом! А вот она-то ничуть не отличается от вероятности выпадения выигрыша на номер из семерок.
Смешное заблуждение. Его психологический источник лишь один: отсутствие номера из семерок бросается в глаза, а отсутствие конкретного номера, состоящего из беспорядочной последовательности цифр, остается незаметным.
Такие игры, как рулетка, кости или лотерея должны нравиться, с одной стороны, людям резкого, импульсивного действия (им нет времени подумать), а с другой стороны – людям слабовольным, которые охотно вверяют свою судьбу в чужие руки. Игры, в которых надо принимать решения, значительно интереснее.
Коммерческая игра
Мы рассмотрели игры, где вероятностные расчеты не могут помочь в выработке игровой стратегии, ибо любая игра в лучшем случае приводит к проигрышу и выигрышу с равными вероятностями, и где отсутствуют элементы психологической борьбы.
Теперь остановимся на играх, результат которых зависит от умения игрока правильно оценивать вероятности тех или иных событий и почти не связан с проникновением в психологию партнера. Игры такого типа называются коммерческими. Классическим представителем коммерческих игр является преферанс. Эта игра распространена у нас достаточно широко и я не стану разъяснять ее правила.
Приведем из этой игры несколько типичных задач и покажем, на каких принципах основываются манеры игры хороших игроков. В преферансе каждая масть представлена восемью старшими картами. В подавляющем числе актов игры у «играющего» имеется на руках четыре, реже пять козырей. Смотря только в свои карты, «играющий» раздумывает, как разделились между «вистующими» отсутствующие у него козыри. Чтобы объявить свою игру, ему необходимо рассчитать сколько он надеется взять взяток, а это, в свою очередь, зависит от того, как распределились козыри у партнеров. При четырех козырях возможны три варианта: четыре на одной руке, три и один, наконец – мечта «играющего» – разделились поровну. Для преферансиста интересен расклад не только козырей, но и второй играющей масти.
Рассмотрим случай, когда у «играющего» на руках две масти по четыре карты. Одна масть козырная, другую, как говорят, надо разыграть, то есть постараться и на ней взять побольше взяток. И в этом случае решающим является расклад карт обеих мастей по рукам «вистующих» партнеров. Как назначить игру? С какими раскладами следует считаться?
Комбинации карт (одна масть черная, вторая красная), которые могут очутиться на одних руках «вистующих», рассчитываются следующим образом. Четыре карты, как говорилось выше, распределяются 16 способами. А на каждую комбинацию черной масти приходится 16 вариантов распределения красных карт. Всего же вариантов будет 162 = 256.
Какие комбинации могут быть? Прежде всего, поистине трагическая, когда четыре черные и четыре красные на одной руке. Таких будет две: все восемь карт или у игрока А, или у В. Их вероятность очень мала 2/256 = (1/128), и заядлые преферансисты вспоминают такие проигрыши (а они бывают) как черный кошмар и на них не рассчитывают.
А какова вероятность самого желанного для «играющего» расклада, то есть по две черные и две красные карты на каждой руке «вистующих». Так как для одной масти таких комбинаций шесть, всего 62 = 36. Вероятность этого светлого исхода равна 36/256 = 1/7. На такой вариант опытные игроки, разумеется, также не рассчитывают. Остается среднее.
Волнующий момент игры в преферанс – приобретение прикупа. Прикуп – это две закрытые карты из 32. «Свои» карты – их 10 – преферансисту известны, а 2 карты (прикуп) из 22 он должен «угадать».
В каждом отдельном случае игрок делает свой расчет. Все зависит от того, какие карты у него на руках и на что он рассчитывает, торгуясь за прикуп.
Положим, он надеется купить пятого козыря к своим четырем. Среди 22 не его карт 4 не его козыри. Значит, вероятность лежащей в прикупе карты быть козырем 4/22, а не быть им – 18/22.
Две карты лежат рядышком рубашкой кверху. Возможны четыре случая: та, что слева, – нужный ему козырь – раз, та, что справа, тоже козырь – два, обе карты козырные – три, нет в прикупе козырей – четыре. По теореме умножения вероятностей, вероятности этих событий равны:
(4/22 · 18/22); (18/22 · 4/22); (4/22 · 4/22); (18/22 · 18/22).
а это дает 0,148; 0,148; 0,034; 0,670 (в сумме, разумеется, единица).
Какая карта слева, какая справа, игроку все равно. Таким образом, шанс на удачу равен 0,148 + 0,148 = 0,296, то есть почти 30%.
Пусть у нашего «героя» на руках по три «сильные» карты трех мастей и одна карта из четвертой масти, скажем, из пик. Достаточно ему приобрести одну карту любой масти (кроме пики), чтобы получилась выигрышная игра. Среди 22 не его карт 7 пиковой масти (у него одна), следовательно, вероятность пики 7/22, вероятность любой из карт других мастей – 15/22. Его погубит лишь один вариант – в прикупе 2 пики: вероятность этого случая (7/22)2 = 0,1.
Значит, 90 процентов шансов на то, что его покупка будет удачной и ему есть смысл рисковать.
Я знал одного человека, который не очень любил трудиться. Если ему удавалось наскрести денег на билет в одну сторону «туда», он садился в поезд и отбывал на юг, в края неги и загара, имея в кармане несколько рублей. Насколько мне помнится, все эти путешествия кончались одинаково: он возвращался довольный, загорелый и даже потолстевший. Как же он устраивался? Очень просто: он играл в преферанс (а играл он безупречно). Это не значит, что он выигрывал каждую игру. Но любое назначение, любой его ход был оправдан вероятностным подсчетом, который он производил подсознательно, на основе своего богатейшего опыта. Когда его спросили, не боится ли он нарваться на игроков, которые играют не хуже его, он ответил, что садится играть только после того, как понаблюдает за игрой своих будущих жертв.
Как видите, случайностей карточного расклада он не боялся.
Из всего сказанного можно сделать вывод, что в таких играх как преферанс много важнее правильно назначить игру, правильно выбрать тактику игры. Играть столь совершенно, чтобы каждый ход был верным, нежели быть удачливым в прикупе или в раскладе карт у «вистующих».
Значит, выигрыш в преферансе не зависит от случая? Нет, зачем такое крайнее суждение. Зависит. Но только тогда, когда партнеры одинаково хорошо или одинаково плохо играют. Поэтому, если партнеры А и В встречаются с одними и теми же равными им по умению партнерами по субботам и проворачивают пару пулек, то результат такой игры за долгий срок обязательно будет нулевым. Случай вступит в свои права и уравняет выигрыши и проигрыши по той же причине, по которой Монте-Карло заканчивает свой рабочий день примерно равными числами «красного» и «черного».
Что же касается систематического выигрыша в такие игры как преферанс, то он может быть лишь в том случае, если один игрок играет лучше другого. А «лучше» – это значит, что он сознательно или подсознательно правильно оценивает вероятность расклада карт, вероятность прикупа нужной карты и прочее.
В связи со сказанным интересно остановиться на заблуждении игроков на ипподроме. Им кажется, что хорошее знание лошадей есть залог успешной игры. Дело, однако, обстоит не так, и игрок, ничего не понимающий в лошадях, за долгий период игры придет к такому же финансовому результату, что и знаток. А поскольку ипподром снимает существенный процент ставок, то этим результатом будет, конечно, проигрыш.
Такое положение возникает по той причине, что ставки на лошадей, грубо говоря, распределяются пропорционально вероятностям их выигрыша. Но сумма выплаты за выигравшую лошадь обратно пропорциональна вероятности выигрыша. Эта сумма определяется весьма просто: все сделанные ставки складываются и делятся на число билетов, поставленных на выигравшую лошадь.
Здесь полная аналогия с игрой в рулетку, когда сравнивается стратегия двух игроков, один из которых ставит только на «красное» и «черное», а другой только на «номера». У первого вероятность выигрыша равна 1/2, а у второго – 1/30. Первый будет выигрывать часто, но мало; второй редко, но большими суммами. В конечном счете, выигрывает zero, то есть оба игрока проиграют.
Из сказанного следует, что вмешательство, даже самое маленькое, случайности уже делает единичное событие, строго говоря, непредсказуемым, а всю область явлений позволяет зачислить по ведомству проблемы вероятности.
Реклама
На первый взгляд ничего общего между рекламой и играми, которые разгружают карманы одних и переводят деньги в карманы других, нет. В коммерческой игре необходимо принимать решение в условиях, когда одним целям противостоят противоположные цели. С той или иной степенью остроты подобные ситуации возникают при решении экономических проблем. Например, принимая решение о рекламировании товара, продавец учитывает возможную реакцию покупателя на рекламу. Принятие решения затрудняется из-за неопределенности поведения конкурентов. Мы знаем, что они предпримут наименее выгодные для нас действия. Тем не менее, как нам так и им приходится принимать вполне определенные решения.
Любого предпринимателя интересует вопрос: сколько денег имеет смысл потратить на рекламу, чтобы она понравилась потребителю?
Прежде чем добиться того, чтобы вещь или событие, или некая персона понравились, необходимо, чтобы они стали известными потребителю.
Не будем пока касаться проблемы «нравится», а остановимся на вероятности получения неким гражданином сведений о существовании, например, компьютеров с маркой HP, технических средств охраны или нетрадиционных источников энергии. Оставим в стороне систематические знания, приобретаемые в результате обучения в школе, и будем интересоваться лишь теми сведениями, которые люди приобретают «на ходу», не преследуя образовательных целей.
На каждого из нас через разные каналы: радио, газеты, телевидение, болтовню с друзьями – обрушивается мощный поток информации, получаемой «по случаю». Фамилии, названия книжных новинок, новых товаров и многое другое мы узнаем большей частью случайно. В зависимости от размаха рекламы, от интереса, который общество проявляет к тому или иному «модному» предмету, имеется некоторая определенная вероятность о нем услышать. Эта вероятность более или менее одинакова для однородной группы населения – скажем, для жителей города, имеющих телевизоры и радиоприемники и получающие две-три наиболее распространенные газеты.
Разумеется, равная вероятность получить информацию вовсе не означает, что по истечении какого-либо срока все люди окажутся одинаково сведущими. Случайное получение информации очень похоже на лотерейный выигрыш. Например, среди тысячи обладателей по десяти лотерейных билетов окажутся лица, которые не выиграют ни разу, которые выиграют один раз, найдутся обладатели двух счастливых билетов, будут и такие везучие игроки, у которых выигрыши выпадут на три, четыре и более билетов.
Вероятность «столкновения» с рекламой, вернее, не с рекламой, а с упоминанием о предмете или лице, известность которого обсуждается, подчиняется распределению Пуассона.
Если, скажем, вероятность натолкнуться на соответствующую информацию в течение одного дня равна одной сотой, то через сто дней 37 процентов населения, так сказать, омываемого этим потоком информации, так и не столкнется с этой рекламой, другие 37 процентов встретятся с упоминанием о рекламируемом предмете 1 раз, 18 процентов – два раза, 6 процентов – три раза и т.д. Эти числа дает распределение Пуассона.
Таким образом, при вероятности узнавания равной одной сотой в день, в течение ста дней обеспечивается известность среди 63% населения.
Это в идеальном случае. У большинства людей память коротка, да и жизнь суматошная. С одного взгляда на рекламу мало кто запоминает рекламируемую вещь.
Поэтому при определении вероятности узнавания добавляется второй множитель. Величина этой поправки на невнимательность различна в зависимости от того, о чем идет речь. В качестве примера можно привести результаты анализа анкет телезрителей. Из этих данных была вычислена вероятность запоминания с одной встречи. Оказалось, что она колеблется между 0,01 и 0,1. Это существенная поправка к распределению Пуассона.
Если теперь подсчитать процент населения, который получит информацию через сто дней, то из 37 процентов «столкнувшихся» с рекламой один раз, информированными окажутся лишь 3,7 процента (при вероятности запоминания с одной встречи равной 0,1).
Из 18 процентов «сталкивавшихся» с информацией два раза доля лиц, усвоивших рекламу, будет больше. Действительно, вероятность не запомнить с одного раза равна 0,9, а не запомнить после двух встреч равна квадрату этой величины, то есть 0,81. Запомнивших будет 1 – 0,81 = 0,19.
Таким образом, процент информированного населения в нашем примере будет подсчитываться так: 37 · 0,1 + 18 · 0,19 + 6 · 0,27 +... – до 63 процентов далеко!.. – Коэффициент невнимательности и приводит к необходимости назойливой, торчащей на всех углах рекламы. Чтобы каждый потребитель узнал о товаре, он должен сталкиваться с соответствующей информацией очень часто.
Мы говорим об известности, но знать – еще не значит предпочитать! Роль назойливой рекламы оказывается решающей по следующим причинам.
Недостаточная реклама означает малую известность, а малая известность влечет двойной проигрыш в конкурсе на высшую оценку. Первая причина ясна. Те, кто не знает, естественно, не могут подать голос за то, что им неизвестно.
Вторая причина состоит в том, что менее популярные вещи, книги, актеры известны... наиболее осведомленным людям. Но поскольку они осведомлены, они делают свой выбор среди значительно большего числа конкурентов. По этой причине вероятность высшей оценки предмета или объекта, который выбирается знатоками, становится меньше вероятности высшей оценки, которую выносит менее осведомленный потребитель.
Вот простая иллюстрация сказанного. Имеется 10 лучших компьютерных фирм в городе. Из них две, скажем, «А» и «В», разрекламированы много более других. Специалисты знают о существовании всех десяти фирм, которые примерно одинаково хороши. Случайные покупатели знают лишь о существовании «А» и «В». Положим, что сто человек собирается приобрести технику. Из них 50 знатоков и 50 случайных покупателей. На первый взгляд может показаться, что менее разрекламированные фирмы не будут в проигрыше. Будут, и в очень большом! 50 случайных покупателей с вероятностью 1/2 выберут одну из двух наиболее известных фирм. Из них 25 обратится в «А» и 25 в «В». А 50 знатоков с вероятностью 1/10 выберут одну из десяти фирм. Таким образом, в «А» и «В» окажется по 30 человек, а в остальных 8-ми фирмах – по 5. Как видите, наименее компетентные потребители играют решающую роль.
Получается, что в популярности чего-либо самую последнюю роль играет мнение знатоков? Если фирма работает со случайными покупателями, то да, но следует ли полагаться в бизнесе на случайного покупателя?
Эффективным средством повышения действенности рекламы является повышение усвоения информации. Реклама должна быть не только привлекательной, но и информативной. В случае, когда полученная посредством рекламы информация не обманывает надежд покупателя, вы получаете постоянных клиентов.
Эффективность рекламы
Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция B, о которой в момент времени t из числа потенциальных покупателей N знает лишь x покупателей. Предположим далее, что для ускорения сбыта продукции B были даны рекламные объявления по радио и телевидению. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. С большой степенью достоверности можно считать, что после рекламных объявлений скорость изменения числа знающих о продукции В пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, так и числу покупателей, о нем еще не знающих.
Если условиться, что время отсчитывается после рекламных объявлений, когда о товаре узнало N/γ человек, то приходим к дифференциальному уравнению
с начальными условиями x = N/γ при t = 0. В уравнении (1) коэффициент k – это положительный коэффициент пропорциональности. Интегрируя уравнение (1), находим, что
(1/N) · ln [x / (N – x)] = kT + C
Полагая NC = С, приходим к равенству
x / (N – x) = AeNkt, где A = eC
Если последнее уравнение разрешить относительно x, то получим соотношение
 , где P = 1/A |
(2) |
В экономической литературе уравнение (2) обычно называют уравнением логистической кривой.
Если учесть теперь начальные условия, то уравнение (2) перепишется в виде
Рис. 1. Логистическая кривая
На рис. 1 схематически изображена логистическая кривая при γ = 2. В заключение отметим, что к уравнению (1) сводится, в частности, задача о распространении технологических новшеств.
Спрос и предложение
Как известно, спрос и предложение – экономические категории товарного производства, возникающие и функционирующие на рынке, в сфере товарного обмена. При этом спрос – представленная на рынке потребность в товарах, а предложение – продукт, который есть на рынке или может быть доставлен на него. Одним из экономических законов товарного производства является закон спроса и предложения, который заключается в единстве спроса и предложения и их объективном стремлении к соответствию.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть в течение некоторого (достаточно продолжительного) времени крестьянин продает на рынке фрукты (например, яблоки), причем продает их после уборки урожая, с недельными перерывами. Тогда при имеющихся у крестьянина запасах фруктов недельное предложение будет зависеть как от ожидаемой цены в наступающей неделе, так и от предполагаемого изменения цены в последующие недели. Если в наступающей неделе предполагается, что цена упадет, а в последующие недели повысится, то предложение будет сдерживаться при условии превышения ожидаемого повышения цен над издержками хранения. При этом предложение товара в ближайшую неделю будет тем меньшим, чем большим предполагается в дальнейшем повышение цены. И наоборот, если в наступающей неделе цена будет высокой, а затем ожидается ее падение, то предложение увеличится тем больше, чем большим предполагается понижение цены в дальнейшем.
Если обозначить через p цену на фрукты в наступающей неделе, а через р' – так называемую тенденцию формирования цены (производную цены по времени), то как спрос, так и предложение будут функциями указанных величин. При этом, как показывает практика, в зависимости от разных факторов спрос и предложение могут быть различными функциями цены и тенденции формирования цены. В частности, одна из таких функций задается линейной зависимостью, математически описываемой соотношением y = ap' + bp + c, где a, b, c – некоторые вещественные постоянные. А тогда если, например, в рассматриваемой задаче цена на фрукты вначале составляла 1 р. за 1 кг, через t недель она была уже p(t) р. за 1 кг, а спрос q и предложение s определялись соответственно соотношениями
q = 4p' – 2p + 39, s = 44p' + 2p – 1.
то для того чтобы спрос соответствовал предложению, необходимо выполнение равенства
4p' – 2p + 39 = 44p' + 2p – 1.
Отсюда приходим к дифференциальному уравнению
dp / (p – 10) = – 10dt.
Интегрируя, находим, что p = Cе–10t + 10. Если же учесть начальные условия p = 1 при t = 0, то окончательно получаем
Таким образом, если требовать, чтобы между спросом и предложением все время сохранялось равновесие, необходимо, чтобы цена изменялась в соответствии с формулой (3).
Источники информации:
- Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М.: Наука, 1987.
- Китайгородский А.И. Невероятно – но факт. – М.: Молодая Гвардия, 1972.
- Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. – М.: Наука, Главная ред. физмат. лит., 1982.
- Мостлер Ф. Пятьдесят вероятностных задач с решениями. – М.: Наука, 1985.
- Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности. – М.: Просвещение, 1984.
|
